A1 數據表示

數據單位

• 位元(bit/b)
  • 數值：數據的基本單位。它可以是 0 或 1。
• 字節/位元組(B)
  • 數值：1 B = 8 bits
• 千字節(KB)
  • 數值：1 KB = 2¹⁰ B = 1024 B = 2¹⁰ B
• 百萬字節(MB)
  • 數值：1 MB = 2¹⁰ KB = 1024 KB = 2²⁰ B
• 十億字節(GB)
  • 數值：1 GB = 2¹⁰ MB = 1024 MB = 2³⁰ B
• 萬億字節(TB)
  • 數值：1 TB = 2¹⁰ GB = 1024 GB = 2⁴⁰ B

位元速率單位列表

• 每秒位元(bps, bit/s, b/s)
  • 數值：每秒鐘傳輸 1 位元的數據。
• 每秒千位元(kbps, kbit/s, kb/s)
  • 數值：1 kbps = 10³ bps = 1000 bps = 10³ bps
• 每秒百萬位元(Mbps, Mbit/s, Mb/s)
  • 數值：1 Mbps = 10³ kbps = 1000 kbps = 10⁶ bps
• 每秒十億位元(Gbps, Gbit/s, Gb/s)
  • 數值：1 Gbps = 10³ Mbps = 1000 Mbps = 10⁹ bps
• 每秒萬億位元(Tbps, Tbit/s, Tb/s)
  • 數值：1 Tbps = 10³ Gbps = 1000 Gbps = 10¹² bps

無符號整數

無符號整數僅用來表示非負整數（即 0 和正整數）。

• 特點： 所有位元（bits）都用來儲存數值，沒有正負號之分。
• 數值範圍： 若有 $n$ 個位元：
  • 最小：$0$
  • 最大：$2^n - 1$
• 範例（以 8 位元為例）：
  • 0000 0000 = 0
  • 1111 1111 = $2^8 - 1 = 255$

有符號整數

有符號整數可以用來表示正數、負數與 0。

在電腦科學中，最常見的表示方法是將最高有效位元 作為「符號位元」：

• 0：代表正數

• 1：代表負數

• 數值範圍： 若有 $n$ 個位元：

  • 最小：$-2^{n-1}$
  • 最大：$2^{n-1} - 1$
  • 原因：最高位元（MSB）被拿來當作符號位，所以只剩下 $n-1$ 個位元來表示數值。

• 範例（以 8 位元為例）：

  • 0111 1111 = $2^{8-1} - 1 = 127$ （正數最大值）
  • 0000 0001 = 1
  • 0000 0000 = 0
  • 1111 1111 = -1 （這在無符號中是 255）
  • 1000 0001 = -127
  • 1000 0000 = $-2^{8-1} = -128$ （負數最小值）

二補碼

二補碼是為了解決「負零」問題並簡化硬體加減法運算而設計的。

如何計算二補碼？

從正數轉負數（或負數轉正數）：

1. 取反：將所有位元 0 變 1，1 變 0。
2. 加 1：在結果上加 1。

二補碼的優點

1. 零的表示唯一： 只有 0000 0000 代表 0，不存在 -0。
2. 簡化電路： 減法運算可以看作是「加法運算」。
   • 例如：5 - 3 等於 5 + (-3)。
   • 電腦只需要設計「加法器」，不需要額外設計減法器。

快速比較表 (以 8 位元為例)

常見考點：

• 溢位：當運算結果超出了該位元數能表達的範圍（例如兩個正數相加結果變成負數）。
• 擴充：當要把 8 位元的數變成 16 位元時，正數前面補 0，負數前面補 1，以保持數值不變。

溢出錯誤

1. 甚麼是溢出（Overflow）？

• 溢出指在有符號數（signed integer）的算術運算（如加、減）中，運算結果超出該二進制位數所能表示的範圍。
• 例如：8-bit 有符號整數範圍為 -128（10000000）至 +127（01111111）。若結果小於 -128 或大於 +127，便發生溢出。

2. 溢出發生的條件（以加法為例）

• 兩個正數相加，結果變為負數（符號位元由 0 變 1）。
• 兩個負數相加，結果變為正數（符號位元由 1 變 0）。
• 正數加負數（或負數加正數）不會產生溢出，因為結果的絕對值一定小於或等於其中一個運算元的絕對值。

3. 如何檢測溢出？

• 方法：檢查進位（Carry）與符號位元進位（Carry into MSB）是否相同。
  • 若兩者相同 → 無溢出。
  • 若兩者不同 → 溢出。
• 另一種看法：僅看最高有效位元（MSB）的進位輸入和輸出是否一致。
  • 輸入 = 輸出 → 無溢出；輸入 ≠ 輸出 → 有溢出。

條碼 vs 二維碼

掃描容易度

• 條碼： 現代科技使安裝了特定應用程式的智能手機既可掃描條碼，也可掃描二維碼。條碼大多只能從兩個角度進行掃描，即 0° 或 180°。
• 二維碼： 二維碼是可以從任何方向掃描的。即使掃描器傾側，令掃描出來的圖像扭曲，它仍有機會成功讀取二維碼的數據。

糾正錯誤的能力

• 條碼： 如果單個條形或空格的寬度被更改，便無法正確掃描條碼。
• 二維碼： 二維碼比條碼具有更高的糾正能力。它通常可以恢復高達 30% 的數據。

可代表的數據種類

• 條碼： 一些條碼可以表示 ASCII 字符，但另一些只可表示數字。
• 二維碼： 二維碼可以表示統一碼（Unicode）字符。

可代表的數據量

• 條碼： 序列的最大長度約為 50 個字符。
• 二維碼： 二維碼的上限通常不少於 1000 個字符。